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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
5.
Decida cuáles de las siguientes sucesiones tienen alguna propiedad de acotación:
VI) $f_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$
VI) $f_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$
Respuesta
Intuitivamente, esta sucesión cuando $n \rightarrow \infty$ se está yendo a cero, y vimos en el Ejercicio anterior que es monótona decreciente. Juntando estas fichas, uno ya se debería dar cuenta que si, efectivamente esta sucesión va a estar acotada tanto superior como inferiormente. Ahora justifiquemos más formalmente esto que ya nos dimos cuenta:
Si tomamos módulo:
$|(\frac{2}{3})^n| = (\frac{2}{3})^n$
Como es una sucesión monótona decreciente (ya lo probamos en el anterior Ejercicio) se puede acotar por su primer término
$|(\frac{2}{3})^n| = (\frac{2}{3})^n \leq \frac{2}{3}$
Por lo tanto, $f_n$ está acotada.