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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 2 - Sucesiones y límites

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5. Decida cuáles de las siguientes sucesiones tienen alguna propiedad de acotación:
VI) fn=(23)nf_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

Respuesta

Intuitivamente, esta sucesión cuando n→∞n \rightarrow \infty se está yendo a cero, y vimos en el Ejercicio anterior que es monótona decreciente. Juntando estas fichas, uno ya se debería dar cuenta que si, efectivamente esta sucesión va a estar acotada tanto superior como inferiormente. Ahora justifiquemos más formalmente esto que ya nos dimos cuenta:

Si tomamos módulo:

∣(23)n∣= (23)n|(\frac{2}{3})^n| = (\frac{2}{3})^n 

Como es una sucesión monótona decreciente (ya lo probamos en el anterior Ejercicio) se puede acotar por su primer término

∣(23)n∣= (23)n≤23|(\frac{2}{3})^n| = (\frac{2}{3})^n \leq \frac{2}{3}

Por lo tanto, fnf_n está acotada.  
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